Haru64

Definition 1.1Identity

좌 항등원: $\exists e \in G \; \forall a \in G \; a = e * a$ 인 e를 좌 항등원(left identity)이라 한다.

우 항등원: $\exists e \in G \; \forall a \in G \; a * e = a$ 인 e를 우 항등원(right identity)이라 한다.

항등원: $\exists e \in G \; \forall a \in G \; a * e = a = e * a$ 인 e를 항등원(identity)이라 한다.

Definition 1.2Inverse

좌 역원: $\forall a \in G \; \exists r \in G \; e * a = r = a$ 인 r를 a의 좌 역원(left inverse)이라 한다.

우 역원: $\forall a \in G \; \exists r \in G \; a * e = r = a$ 인 r을 a의 우 역원(right inverse)이라 한다.

역원: $\forall a \in G \; \exists r \in G \; a * r = e = r * a$ 인 r를 a의 역원(inverse)이라 한다.

Definition 1.3Group

임의의 집합 $G$ 와 그 위에 정의된 이항 연산 $\circ:G\times G \to G$ 이 있다고 하자.

다음이 성립할 때 $(G, \circ)$ 을 군(group)이라 한다.

(G1) Associativity: $\forall a, b, c \in G \; (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$

(G2) Identity: $\exists e \in G \; \forall a \in G \; a \circ e = a = e \circ a$

(G3) Inverse: $\forall a \in G \; \exists r \in G \; a \circ r = e = r \circ a$

Definition 1.4

집합 $G$ 와 군을 이루는 이항 연산 $\circ:G\times G \to G$ 이 있다고 하자.

다음이 성립할 때 $\circ$ 은 집합 $G$ 위에서 가환이라 한다.

$\forall a, b \in G \; a \circ b = b \circ a$

Thesis 1.5항등원의 유일성

집합 $G$ 와 군을 이루는 이항 연산 $\circ:G\times G \to G$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\exists_{1} e \in G \; \forall a \in G \; a \circ e = a = e \circ a$

서로 다른 두 항등원 $\exists e_1 \in G, e_2 \in G \; s.t. \; (e_1 \neq e_2)$ 이 있다고 하자.

$e_1 \circ e_2 = e_1 = e_2 \circ e_1$ 이므로 모순이 발생.

가정했던 조건(둘 이상의 서로 다른 항등원이 존재한다)는 틀렸다

즉, 항등원은 유일하다. $_\blacksquare$

Thesis 1.6역원의 유일성

집합 $G$ 와 군을 이루는 이항 연산 $\circ:G\times G \to G$ 에 대하여 $\circ$ 이 $G$ 위에서 가환일 때 다음이 성립한다.

$\forall a \in G \; \exists_{1} r \in G \; a \circ r = e = r \circ a$

서로 다른 두 역원 $\exists r_1 \in G, r_2 \in G \; s.t. \; (r_1 \neq r_2)$ 이 있다고 하자.

$r_{1} = r_{1} \circ e = r_{1} \circ (a \circ r_{2}) = (r_{1} \circ a) \circ r_{2} = e \circ r_{2} = r_{2}$ 이므로

$r_1 = e = r_2$ 에서 모순이 발생, 가정했던 조건(둘 이상의 서로 다른 역원이 존재한다)는 틀렸다.

즉, 역원은 유일하다. $_\blacksquare$

한편, 이러한 역원은 연산에서 ‘반대 방향으로의 연산’이라는 의미를 가진다. 예를 들어, 3의 역원 -3에서 5 + (-3)은 2+3에서 3을 되돌아가 2로 변하는 역할을 할 수 있다. 이와 같은 연산을 일반화해 역연산을 정의한다.

Definition 1.7Inverse Operation

집합 $G$ 와 군을 이루는 이항 연산 $\circ:G\times G \to G$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\exist_{1} \circ^{-1} \; : G \times G \to G \; s.t. \; \forall a, b \in G \; a \circ b = c \iff b = a \circ^{-1} c$

이러한 연산 $\circ^{-1}$ 을 $\circ$ 에 대한 역연산(inverse operation)이라 한다.

Thesis 1.8이중 역원

집합 $G$ 와 군을 이루는 이항 연산 $\circ:G\times G \to G$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\forall a \in G$ 에 대하여 $a$ 의 역원의 역원은 $a$ 이다.

역원은 유일하므로 역원의 역원도 유일하다.

$a$ 의 역원을 $r$ 이라고 하자.

$r$ 의 역원을 $r'$ 이라고 하자.

$r' = r' \circ e = r' \circ (a \circ r) = r' \circ (r \circ a) = (r' \circ r) \circ a = e \circ a = a$

이므로 역원의 역원은 처음의 값과 같다. $_\blacksquare$

FollowUp 1.8-1이중 역원

역원의 역연산은 원연산과 같다.

집합 $G$ 와 군을 이루는 이항 연산 $\circ:G\times G \to G$ 에 대하여,

$\forall a, b \in G \; a \circ ^{-1} b^{-1} = a \circ b$

$\forall a, b \in G \; a \circ ^{-1} b^{-1} = a \circ (b^{-1})^{-1}$ (1.7) $= a \circ b$ (1.8)

Thesis 1.9역연산의 유일성

집합 $G$ 와 군을 이루는 이항 연산 $\circ:G\times G \to G$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\exists_{1} \circ^{-1} \; : G \times G \to G \; (\circ^{-1}$ 은 $\circ$ 의 역연산 $)$

서로 다른 두 역연산 $\exists *_{1} \; G \times G \to G, *_{2} \; G \times G \to G \; s.t. \; (*_{1} \neq *_{2})$ 이 있다고 하자.

$b_{1} = a *_{1} c$ 이고 $b_{2} = a *_{2} c$ 이라고 하자.

$a \circ b_{1} = c$ 이고 $a \circ b_{2} = c$ 이다.(1.7)

$b_{1}$ 과 $b_{2}$ 은 $a$ 에 대한 역원이다.(1.2)

한편, 역원은 유일하므로(1.6) $b_{1} = b_{2}$ 이다.

따라서 $\forall a, c \in G \; a *_{1} c = a *_{2} c$ 이므로 $*_{1} = *_{2}$ 이다.

이는 가정했던 조건(둘 이상의 서로 다른 역연산이 존재한다)과 모순이므로 역연산은 유일하다. $_\blacksquare$

Definition 1.10Field

다음을 만족하는 집합 $F$ 를 체라고 한다.

(A ) 다음을 만족하는 이항 연산 $+:F\times F \to F$ 가 존재한다.

(A1) $\forall a, b \in F \; a + b = b + a$

(A2) $\forall a, b, c \in F \; (a + b) + c = a + (b + c)$

(A3) $+$ 에 대한 항등원 $0 \in F$ 이 존재한다.

(A4) $\forall a \in F \; \exists b \in F \; s.t. \; a + b = 0 = b + a$

(M ) 다음을 만족하는 이항 연산 $\times:F\times F \to F$ 가 존재한다.

(M1) $\forall a, b \in F \; a \times b = b \times a$

(M2) $\forall a, b, c \in F \; (a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

(M3) $\times$ 에 대한 항등원 $1 \in F$ 이 존재한다.

(M4) $\forall a \in F \;(a \neq 0) \; \exists b \in F \; s.t. \; a \times b = 1 = b \times a$

(D ) 분배법칙이 성립한다.

Property 1.11

$\R$ 은 체이다.

Definition 1.12

다음과 같은 함수 $-: \R \to \R$ 를 인수의 역원으로 정의한다.

$-x = (x$ 의 역원 $)$

이러한 함수 $-$ 를 연산으로 확장하여 이항연산 $-: \R \times \R \to \R$ 을 $+$ 의 역원으로 정의한다.

즉, $x - y = x + (-y)$ (1.7)

덧셈의 역원 -와 덧셈의 역연산 -는 기호는 같으나 서로 다름을 주의하자.

Thesis 1.13

$\forall r \in \R \; r \times 0 = 0 = 0 \times r$

$\forall r \; 0$

$=r \times 0+(- (r \times 0))$ (A4)

$=r \times (0+0)+(- (r \times 0))$ (A3)

$=r \times 0+r \times 0+(- (r \times 0))$ (D)

$=r \times 0+[r \times 0+(- (r \times 0))]$ (A2)

$=r \times 0+0$ (A4)

$=r \times 0$ (A3)

$=0 \times r$ (M1) $_\blacksquare$

Property 1.14

다음이 성립한다.

$\forall r \in \R \; r > 0 \oplus r = 0 \oplus r < 0$

Thesis 1.15

$\forall r \in \R^{+} \Rightarrow -r <0$ 이고 $\forall r \in \R^{-} \Rightarrow -r >0$ 이다.

$\forall r \in \R^{+} \Rightarrow r>0$

If $-r>0$

$r + (-r) > 0 + 0 = 0$ 이고 $r + (-r) = 0$ (1.2)이다.

따라서, $0 > 0$ 이고 $0 = 0$ 이므로 모순이 발생.(1.14)

If $-r=0$

$r = r + 0 = r + (-r) = 0$ 이고 $r > 0$ 이므로 모순이 발생.(1.14)

따라서, $-r < 0$ 이다.(1.14)

같은 방식으로 $\forall r \in \R^{-} \Rightarrow -r > 0$ 임을 증명할 수 있다. $_\blacksquare$

Thesis 1.16

다음이 성립한다.

$\forall r \in \R \; (-r) \times r = -r \times r$

$r + (-r) = 0$ (1.2)

$\Rightarrow\{r + (-r)\} \times r = 0 \times r$

$\Rightarrow\{r + (-r)\} \times r = 0$ (1.2)

$\Rightarrow r \times r + (-r) \times r = 0$

$\Rightarrow r \times r + (-r) \times r + (-r \times r) = 0 + (-r \times r)$

$\Rightarrow r \times r + (-r) \times r + (-r \times r) = -r \times r$ (1.10:A3)

$\Rightarrow(-r) \times r + r \times r + (-r \times r) = -r \times r$ (1.10:A1)

$\Rightarrow(-r) \times r + \{r \times r + (-r \times r)\} = -r \times r$ (1.10:A2)

$\Rightarrow(-r) \times r + 0 = -r \times r$ (1.10:A3)

$\Rightarrow(-r) \times r = -r \times r$ (1.10:A3) $_\blacksquare$

Thesis 1.17

다음이 성립한다.

$\forall r \in \R (r \neq 0) \; r \times r > 0$

If r > 0

$r \times r$

$> r \times 0$

$=0 \cdots *1$

If r < 0

$-r \times r$

$= (-r) \times r$ (1.16)

$= r \times (-r)$ (1.10:M1)

$> 0 \times (-r) (r<0 \Rightarrow -r > 0)$ (1.15)

$= 0$ (1.13)

$\therefore r \times r > 0\cdots *2$ (1.15)

$r \in \R$

$\Rightarrow r > 0 \vee r < 0$

$\Rightarrow r \times r > 0 \vee (-r) \times r > 0 \; (*1, *2)$

$\Rightarrow r \times r > 0$ $_\blacksquare$

FollowUp 1.17-1

이제 이로부터 다음이 자명하다.

$\forall r \in \R \; r \times r \geq 0$

$\forall r \in \R \; r = 0 \vee r \neq 0$

$\Rightarrow r \times r = 0 \vee r \times r > 0$ (1.17)

$\Rightarrow r \times r \geq 0$

Definition 1.18

$a, b \in \R \; (a<b)$ 에 대하여 구간을 다음과 같이 정의한다.

(Open Interval) $I_{open} = (a, b) = \{x \in \R \; | \; a < x < b\}$

(Closed Interval) $I_{closed} = [a, b] = \{x \in \R \; | \; a \leq x \leq b\}$

$[a, b) = \{x \in \R \; | \; a \leq x < b\}$

$(a, b] = \{x \in \R \; | \; a < x \leq b\}$

Definition 1.19

$r \in \R$ 에 대하여 구간을 다음과 같이 정의한다.

$(r, \infty) = \{x \in \R \; | \; r < x\}$

$[r, \infty) = \{x \in \R \; | \; r \leq x\}$

$(-\infty, r) = \{x \in \R \; | \; x < r\}$

$(-\infty, r] = \{x \in \R \; | \; x \leq r\}$

$(-\infty, \infty) = \R$

Definition 1.20

절댓값은 두 실수 차이의 순서없는 차이를 나타내기 위해 사용된다.

$\forall r \in \R \; |r| = \begin{cases} r, & \text{if } r \geq 0 \\ -r, & \text{if } r < 0 \end{cases}$

Thesis 1.21

절댓값에 대하여 다음이 성립한다.

(A1) $\forall r \in \R \; |r| \geq 0$

(A2) $\forall r \in \R \; |r| =|-r|$

(A3) $\forall a, b \in \R \; |ab| = |a||b|$

(A4) $\forall a, b \in \R \; |\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$

(A5) $\forall a, b \in \R \; |a + b| \leq |a| + |b|$

(A6) $\forall r \in \R \; |r| = 0 \iff r = 0$

(A1)

If $r \geq 0 \; \rm{then,} \; |r| = r \geq 0$ (1.20)

If $r < 0 \; \rm{then,} \; |r| = -r$ (1.20) $>0$ (1.15)

$\therefore \forall r \in \R \; r \geq 0 \vee r < 0 \Rightarrow |r| \geq 0 \vee |r| > 0 \Rightarrow |r| \geq 0 _\blacksquare$

(A2)

$|-r|$ $= \begin{cases} -r, & \text{if } -r \geq 0 \\ r, & \text{if } -r < 0 \end{cases}$ $= \begin{cases} -r, & \text{if } r \leq 0 \\ r, & \text{if } r > 0 \end{cases}$ (1.15) $=|r|$ (1.20) $_\blacksquare$

(A3)

If $a \geq 0, b \geq 0$

$|ab| = ab = |a||b|$ (1.20)

If $a < 0, b < 0$

준비중

If $\; \sf{WOLG, } \; a < 0, b \geq 0$

준비중 $_\blacksquare$

(A4)

$|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ $\Leftarrow |\frac{a}{b}| |b| = |a|$ $(\because b \neq 0)$ $\Leftarrow |\frac{a}{b} \times b| = |a|$ (A3) $\Leftarrow |a| = |a| _\blacksquare$

(A5)

준비중 $_\blacksquare$

(A6)

$|0| = 0$ $(\because 0 \geq 0)$ 준비중 $_\blacksquare$

Definition 1.22Distance Function

집합 $X$ 위에 정의된 함수 $d:X \times X \to \R$ 이 다음 성질을 만족할 때,이 함수를 $X$ 위의 거리 함수(distance function)라 한다.

또한 $\forall A, B \in X$ 에 대하여 $d(A, B)$ 를 $A$ 와 $B$ 사이의 거리라고 한다.

(D1) $\forall A, B \in X \; d(A, B) \geq 0$

(D2) $\forall A, B \in X \; d(A, B) = 0 \iff A = B$

(D3) $\forall A, B \in X \; d(A, B) = d(B, A)$ (대칭성)

(D4) $\forall A, B, C \in X \; d(A, C) \leq d(A, B) + d(B, C)$ (삼각방정식)

Definition 1.23

실수집합 $\R$ 에 대한 거리함수를 다음과 같이 정의한다.

$d(x, y) = |x - y|$

Definition 1.24

양의 실수 $r \in \R^{+}$ 과 자연수 $n \in \N$ 에 대하여,

$r \in \R^{+}$ 이 $a$ 의 $n$ 거듭제곱근 중 하나라는 것은 다음과 동치이다.

$\forall n \in \N \; \forall a \in \R^{+} \; \underbrace{r \times r \times \cdots \times r}_{n \text{ times}} = a$

$\forall a \in \R^{+} \; \sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$

Definition 1.25

실수 $r \in \R$ 에 대한 유리수 $q \in \mathbb{Q}$ 의 거듭제곱

$p(a,b) : [ (\R^{+} \times \mathbb{Q}^{+}) \cup (\{0\} \times \mathbb{Q}^{+}) ] \to \R$ 을 다음과 같이 정의한다.

(P1) $p(a,n)=\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ times}} \; (n \in \mathbb{N})$

(P2) $p(a,0)=0 \; (a \in \R^{+})$

(P3) $p(a,\frac{m}{n})=\sqrt[n]{p(a,m)} \; (a \in \R^{+}, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N})$

(P4) $p(a,-q)=\frac{1}{p(a,q)} \; (a \in \R^{+}, q \in \mathbb{Q}^{+})$

Thesis 1.26

거듭제곱근에 대하여 다음이 성립한다.

(R1) $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}$

(R2) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \; (b \neq 0)$

(R3) $\sqrt[mn]{a} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$

(R4) $\sqrt[n]{a^{n}} = a \; (\text{where } n \text{ is even})$

(R5) $\sqrt[n]{a^{n}} = |a| \; (\text{where } n \text{ is odd})$

준비중 $_\blacksquare$

Thesis 1.27

거듭제곱에 대하여 다음이 성립한다.

(P1) $a^{m+n} = a^{m} a^{n}$

(P2) $a^{m-n} = \frac{a^{m}}{a^{n}} \; (a \neq 0)$

(P3) $a^{mn} = (a^{m})^{n}$

(P4) $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$

(P5) $\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} \; (b \neq 0)$

(P6) $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{b^{n}}{a^{n}} \; (a \neq 0, b \neq 0)$

(P7) $\frac{a^{-n}}{b^{-m}} = \frac{b^{m}}{a^{n}} \; (a \neq 0, b \neq 0)$

준비중 $_\blacksquare$

Definition 1.28Scientific Notation

다음과 같은 표기법을 과학적 표기법(scientific notation)이라 한다.

$a \times 10^{n} \; (a \in \left[1, 10\right), n \in \Z)$

Definition 1.29Rationalization

유리화란 분모를 유리수로 바꾸는 것을 말한다.

경우에 따라서는 유리수로 바꾼 후 간단히 하는 것까지 포함한다.

ex) $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

Definition 1.30Monomial

다음과 같은 식을 단항식이라 한다.

$a \; (a \in \R) \;$ 또는 $a x^{n} \; (a \in \R, n \in \N)$

여기서 $a$ 는 계수(coefficient)이고, $n$ 은 차수(degree)이다.

다항식 a를 관용적으로 $ax^{0}$ 으로 표기하며 이에 따라 차수를 0으로, 단항식의 계수를 a로 정의한다.

Definition 1.31Polynomial

다음과 같이 다항식을 정의한다.

(P1) 임의이 단항식은 다항식이다.

(P2) $P(x)$ 와 $Q(x)$ 이 다항식일 때, $P(x) + Q(x), P(x) - Q(x), P(x) \times Q(x)$ 은 다항식이다.

Thesis 1.32다항식의 일반형

임의의 다항식은 다음의 꼴로 나타낼 수 있다.

$P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{1} x + a_{0} \; (a_{i} \in \R, n \in \N)$

준비중 $_\blacksquare$

Definition 1.33Polynomial Coefficient and Degree

다항식은 (1.32)에 의해 서로 다른 차수의 단항식의 합으로 표현 가능하다.

이에 따라 각 다항식은 차수를 내림차순으로 정렬할 수 있으며 그 중 최대 / 최소의 차수에 대하여 다음과 같이 정의한다.준비중